[기초통계] t 분포, F 분포 강의 정리

https://www.youtube.com/watch?v=DyBxYsCow9k&list=PLpIPLT0Pf7IqS4as3nefPyGv94r2aY6IT&index=4 

 

김성범 교수님 머신러닝 강의의 20분 이후 내용입니다. 

 

강의 앞부분 내용은 : 

https://huidea.tistory.com/230

[기초 통계] 표본분산의 분포, 카이제곱분포

 

 

 

3. T분포 

1) 공식 

 

Z 확률 변수 : N(0,1) 표준정규분포를 따른다. 

Y 확률 변수 : 카이제곱 분포 (자유도가 v인)

T 통계 분포는 -->

표준정규분포(Z)가 분자, 카이제곱 분포(Y)를 자유도(v)로 나눈 값이 분모 --> 이게 T분포의 정의 

• T분포에서도 자유도(v) 가 파라미터 ==> t(v) 로 표기 
• T분포의 평균 E(T)는 0 이고, 대칭인 형태
• 하지만 정규 분포에 비해서는 꼬리가 긴 모습 --> 비정규 분포로 분류가 됨 !!! 

자유도 K에 따라서 꼬리가 달라짐 

• 마찬가지로 T분포에서 특정 알파값이 어디에 속할지 확률을 계산할 때 테이블로 해석을 함 

 

2) 유도 과정 

* 모집단이 여전히 정규분포 --> 여기서 X1, ~~ X25 샘플 추출

* Z는 정규분포, Y는 카이제곱분포 

* T도 정규분포 형태랑 비슷하게 나옴 대신 시그마(모집단 표준편차) 대신 S(표본의 표준편차)

     --> 따라서 모집단의 표준편차를 모를때, T분포를 사용함 ((응용통계에서 자주 사용하는 방법))

 

  ==> T ~ t(n-1) 로 표기 ! 

 

 

 

3) 풀이 

 

모집단의 평균이 15, 분산이 100 인 정규분포를 따를때, 그로부터 독립적으로 동일하게 25개 추출

 

-->  자유도가 24인 T분포에서 C 보다 작은 값이 등장할 확률 0.05다 C값 찾아라

v = 24, 알파 0.05 => C = - 1.711 (C값보다 작은 값들 등장확률이니까) 

 

 

 

4. F분포 : 두 카이제곱 분포의 비율 

 

1) 공식

두 개의 카이제곱 분포를 따르는 확률 변수 

파라미터는 2개 v1, v2 --> F(v1,v2)

 

 

2) 확률 계산 방법

 

* 두개의 모집단에서 각각 샘플 추출 

   1) n1 개 샘플 추출 -- 추출된 표본의 분산 S1

   2) n2 개 샘플 추출 -- 추출된 표본의 분산 S2

 

* 카이제곱분포 / 자유도1 // 카이제곱분포 / 자유도2 -

* F 분포의 파라미터는 자유도1,2 ==> F(n1-1, n2-1)

 

3) 예제 

 

* 모집단1  평균 4, 분산 16  --> 15개 뽑아 // 모집단2 평균 12, 분산 48 --> 10개 뽑아 

* 두 샘플의 F분포는  평균 14, 분산 9 

* 이 F분포에서 표본분산비율이 c값보다 적을 확률이 0.05 --> 여기서 c를 찾아라

  표본분산비율 == 1 (두 분산이 같다) // 분자, 분모의 대소를 통해 파악

 

 

 

+)) 

* 양변에 시그마제곱 분수를 곱해줘서

   F 분포 테이플로 볼 수 있게 만듦

 

 

 

 

+)) 그리고 마지막에 -.95는 데이블에서 찾기 힘듦 --> 앞에서 나온 공식대로 역수를 취해서 테이블 해석 !!