[기초 통계] 표본분산의 분포, 카이제곱분포

https://www.youtube.com/watch?v=DyBxYsCow9k&list=PLpIPLT0Pf7IqS4as3nefPyGv94r2aY6IT&index=3 

위의 강의 내용을 캡쳐 + 정리한 내용입니다.

 

 

 

앞의 내용 link : 

https://huidea.tistory.com/228

 

[기초 통계] 표본분포(Sampling Distribution), 샘플평균의 분포 강의 내용 정리

 

 

앞의 내용에 이어서.. 

0. 이전시간 핵심 키워드

통계량 : 표본의 평균과 분산

표본 분산(sampling distribution) : 통계량의 분포 즉, 표본의 평균의 분포 / 표본의 분산의 분포 

 * 표본 평균의 분포 --> N( 뮤,시그마제곱 / N) => 정규 분포 

 * 표본 분산의 분포 --> 카이제곱분포 

 

1. 카이제곱분포  - 표준정규분포 제곱의 합

1) 정의 

1) 확률 변수 Z1 ~ Zn 각각이 표준 정규 분포를 따르게 됨 N(0,1)

2) 표준 정규분포 각각 제곱을 한뒤 더하면 ? 

3) Z는 카이제곱 분포를 따르게 되는 것임 

 ** 여기서 v 는 자유도 (파라미터) 인데, 표준 정규 분포를 각각 몇 개 더해줬는지를 뜻함 

 

2)  카이 제곱 그래프 - skew to the right (자유도 4)

 

 

3) 카이 제곱 분포 - 확률 (정규분포처럼 특정값 보다 클 확률 표로 계산함)



Y 값이 X**2av보다 클 확률  => 알파

알파와 자유도가 주어짐 

if alpha 0.95 & v(자유도) 5  ==>  X**2av =  1.145

 

위의 그림 처럼 다시 유도하면, P( Y >= 1.145) = 0.95 (Y 값이 1.145보다 클 확률은 0.95)

 

 

 

2. 표본 분산 ( 그중에서도 표본의 분산의 분산) 이  카이제곱 분포를 따른다 !! **

1) 표본 분산

 

+) (분산은 편차 제곱의 합 / 관측치개수) 근데 n-1인건 모집단의 분산이 아니라 표본집단의 분산이기 때문

 

* 여기서 n의 샘플의 개수 

(분산은 편차 제곱의 합 / 관측치개수) 

* Xi는 각각 독립된 정규분포 

 

+) 자유도는 ????? 

(Xi - 뮤)제곱의 합 / 분산 ==> 표준정규분포 의 제곱 !! ==> 카이제곱 분포 

뮤는 모집단의 평균이자 샘플의 평균 Xbar의 값은 알고 있음 

--> 따라서 n개중 1개는 알고 있으므로 모르는 건 n-1

--> 자유스럽게 값을 가질 수 있다~~~~

--> 자유도 n-1 입니다.!

 

 

더 자세히 보자면, 

이렇게 되었을 때 X5는 6 

이런 문제에서 자유도는 ? 4 

  -->  sum이 주어지기때문에 나머지 하나는 고정값, 4개는 자유롭게 정할 수 있음 ~!

  

 

 

2) 표본 분산 예제 

문제 :  모집단 (평균 15, 분산 100) 모집단에서 샘플링 개수 25개 Y (표본의 분포)는 자유도 24의 카이 분포 형태임                                                                     -> 자유도 24개 (1개는 정해지게 됨)                           표본분산이 C 값보다 클 확률이 0.95 --> C값을 구하라

 

S제곱을 바로 구할 수는 없음 카이제곱 분포를 따르는 건

이기 때문에 이렇게 바꿔줘야함 

--> n-1곱하고 모집단분산(뮤제곱)으로 나누고

 

 ==> 카이제곱 분포표를 통해 구한 값 13.848 

 *** 24*C/100 = 13.848   => C = 57.7

 

 

+) 자유도에 따른 그래프의 변화