[기초 통계] 표본분포(Sampling Distribution), 샘플평균의 분포 강의 내용 정리

https://www.youtube.com/watch?v=EjQq2s9C9Sc&list=PLpIPLT0Pf7IqS4as3nefPyGv94r2aY6IT&index=3 

고려대학교 김성범 교수님 강의를 일부 정리한 내용입니다. 

 

1. 모집단과 표본

 

2. 표본  샘플링  --> 통계량 

 

statistic : 단일 통계량을 의미 

statistic : 여러개의 통계량  --> 샘플링 데이터의 함수 ! 

통계학의 3가지 함수 
1) 확률 변수 - Random Variable : 실험으로 나온 표본들을 실수로 바꿔주는 것 
     ex. 동전 앞 뒤면 --> 0,1 
2) 확률 함수 - 확률 변수에서 나온 실수를 0~1 사이의 확률로 바꿔주는 함수 
     ex. 동전 앞 뒤면 --> 0.5, 0.5
3) 통계량 

샘플의 평균은 통계량, 샘플의 분포는 통계량 --> 즉 샘플 데이터로 구성된 함수면 통계량임 ! 

 

 

3. 표본 분포 sampling distribution 

[ X bar ] 

표본 분포 : 통계량의 분포****

                    즉 샘플의 평균의 분포 / 샘플의 분포의 분포 

 

# 샘플의 평균(X bar) 의 분산 :  뮤 (모집단의 평균과 같음)	# 샘플의 평균(X bar)의 분산 : 시그마 제곱/n (모집단 분산/n)
	분산 : 편차 제곱의 평균 // 상수항은 제곱되어서 나옴 (따라서 1/n**2)

 

정리하자면 !

 

==> 만약 모집단의 분포가 정규분포면 N(뮤, 시그마제곱)

--> X1 ~ Xn 동일한 분포에서 iid로 뽑혔다면 

--> 샘플 평균(Xbar) 의 분포는 --> N(뮤, 시그마제곱/n) 이게 바로 Sampling distribution

--> 표준 정규 분포 Z 변환하면, N(0,1)

 

Q. 예제 

X1~X25까지 iid의 샘플 --> 모집단의 평균은 15, 분산은 100

샘플링의 평균이 20이하일 확률은 ? --> 표준 정규분포로 변환 --> 표준정규분포표로 확률 구하기 

 

 

4. 중심극한정리 (만약 모집단이 정규분포가 아니라면? 표본은?) 

 

==> 3에서는

모집단이 정규 분포를 따르면, 표본도 정규 분포 

 

==> 중심극한정리에서는

표본의 개수(N)가  클 경우 모집단의 분포가 정규분포건 아니건 상관없이 표본들의 평균을 구하면 정규 분포다. 

(모집단이 포아송 분포건 무슨 분포건 간에)

 

n은 샘플링 데이터 갯수 (샘플링 그룹 개수는 아님) 

https://bookdown.org/mathemedicine/Stat_book/normal-distribution.html#---ok

 

5. 모집단이 2개인 경우 

# 두 모집단 평균의 차이를 구하고 싶다면? 뮤1- 뮤2

# 만약 두 모집단 모두 정규분포라면 ? 두 모집단 각각의 표본 평균의 차이도 정규분포

 

6. 표본 분포 sampling distribution - 샘플 분산에 대한 분포 (S**2 분포)

--> 샘플 분산의 분포는 계산으로 쉽게 안구해짐... 

그러나 n-1 을 곱하고 모집단 분산(시그마제곱) 으로 나눴누면 구해짐, => 카이 제곱 분포

n-1, 시그마제곱은 상수이기에 분포에 변동을 안미침 

따라서 표본 분포 중 샘플 분산에 대한 분포는 --> 카이제곱 분포를 따른다 ! 라고 말해도 됨